「1年って365日あるよね？」
「うん」
「じゃあ、23人くらい集まったところで、同じ誕生日の人なんてそうそういないよね？」
おそらく多くの人は、そう考える。
23人に対して365日。
どう考えても、まだまだ余裕がある。
ところが数学は、こちらの直感をあっさり裏切ってくる。
23人集まると、その中に同じ誕生日の人がいる確率は約50.7％。
つまり、
「23人集めれば、だいたい2回に1回は誕生日がかぶる」
のである。
365日もあるのに。
23人しかいないのに。
なぜこんなことになるのか。
まず「自分と同じ誕生日」ではない
ここは非常に重要。
「23人の中に、自分と同じ誕生日の人がいる確率が50.7％」
という意味ではない。
もし自分が4月1日生まれだったとして、
「23人集めたら4月1日生まれがいる確率は50％超！」
という話なら、かなり嬉しい。
しかし、実際は違う。
ここで探しているのは、
「23人の中の誰でもいいから、誕生日が同じ2人がいるか」
である。
例えば、
田中さん：4月1日
佐藤さん：7月20日
鈴木さん：11月3日
山田さん：4月1日
この時点で、
はい、成立。
田中さんと山田さんが同じ誕生日なのである。
つまり、自分が4月1日である必要はない。
誰と誰でもいい。
このルールにすると、急に誕生日探しの難易度が下がる。
23人いると「2人組」が253組もできる
ここで数学が本気を出してくる。
23人の中から2人を選ぶ組み合わせは、
253通り。
計算すると、
23 × 22 ÷ 2 ＝ 253
となる。
つまり、23人集まった瞬間、
「この2人は同じ誕生日かな？」
というチェックを253回もできる。
例えば、
AさんとBさん。
AさんとCさん。
AさんとDさん。
BさんとCさん。
BさんとDさん。
……
と、どんどん比較できる。
23人しかいないと思っていたのに、数学から見ると、
「253組もいるじゃん」
なのである。
23人という人数だけを見ると少なく感じる。
しかし、誕生日の一致を探すというゲームを始めた瞬間、比較対象が一気に増える。
1組だけなら、同じ誕生日になる確率は低い
もちろん、2人だけなら話は簡単だ。
1人目の誕生日が決まっているとして、2人目が同じ誕生日になる確率は、
1／365 ≒ 0.27％。
かなり低い。
「そんなの当たるわけないじゃん」
と思う数字である。
ところが、23人集めると話が変わる。
「AさんとBさん」
だけではなく、
「AさんとCさん」
「AさんとDさん」
「BさんとCさん」
……
と、比較する組み合わせが253通りもある。
1回だけなら低確率でも、
チャンスが253回ある。
ここがポイントだ。
「じゃあ253×0.27％＝約68％？」
ここで、ちょっと計算したくなる。
「1組あたり約0.27％なら、253組あるんだから……」
と考えると、
約68％。
「おお、じゃあ68％じゃん！」
と思うかもしれない。
残念。そうはならない。
確率は単純に足せばいいわけではない。
なぜなら、同じ人が複数の組み合わせに登場するからだ。
例えば、
AさんとBさんが同じ誕生日。
AさんとCさんも同じ誕生日。
となった場合、
「一致が2回起きた！」
と数えることはできても、
「同じ誕生日の人がいる」という出来事としては1回である。
このあたりから、数学が少し嫌いになってくる。
正確に計算すると約50.7％
では、どうやって計算するのか。
実は「同じ誕生日の人がいる確率」を直接計算するより、
「23人全員の誕生日がバラバラである確率」
を計算したほうが簡単である。
1人目は、どの誕生日でもいい。
だから100％。
2人目は、1人目と違う364日。
3人目は、最初の2人と違う363日。
これを繰り返していく。
すると、
365／365 × 364／365 × 363／365 × …… × 343／365
となる。
計算すると、
約49.3％。
つまり、23人全員の誕生日が違う確率が約49.3％。
ということは、その反対。
少なくとも1組、誕生日が同じ人がいる確率は約50.7％。
となる。
数学、
「ほら、半分超えたよ」
である。
23人で「約半分」なのが一番面白い
23人で約50.7％という数字が面白いのは、
「かなり大人数を集めないと無理そう」
という感覚と全然違うからだ。
365日ある。
だから、
「100人くらい集めないと、そんなこと起きないでしょ」
と思ってしまう。
ところが、
23人。
学校のクラスくらいの人数である。
教室に23人いたら、
「まあ、誕生日がかぶることもあるか」
ではなく、
「もう半分くらいの確率で起きます」
なのである。
30人になると約70％
さらに人数を増やすと、確率はどんどん上がる。
| 人数 | 同じ誕生日の人がいる確率 |
|---|---|
| 10人 | 約11.7％ |
| 20人 | 約41.1％ |
| 23人 | 約50.7％ |
| 30人 | 約70.6％ |
| 40人 | 約89.1％ |
| 50人 | 約97.0％ |
| 57人 | 約99.0％ |
30人なら約70.6％。
40人なら約89.1％。
50人なら約97％。
つまり、30人くらいの集団で、
「この中に同じ誕生日の人いるかな？」
と聞いてみると、
かなりの確率で誰かが「私たち同じです」
となる。
もし誰もいなかったら、
「今日はそういう日だったんだね」
くらいに思っていい。
ちなみに「366人なら必ず」は別の話
「じゃあ366人集めれば100％？」
これは100％。
ただし、こちらは確率の話というより、数学的に必ずそうなる。
365日しかないところに366人いる。
全員の誕生日を別々にしようとしても、
365人目まではなんとかなる。
しかし366人目は、
「ごめん、もう空いてる日ないです」
となる。
どこかで必ず誕生日が重なる。
これは「鳩の巣原理」と呼ばれる考え方である。
365個の誕生日という箱に、366人を入れれば、必ずどこかの箱が2人以上になる。
ただし、現実の誕生日は完全に均等ではない
ここまでの計算は、
「365日すべてに、同じ確率で生まれる」
という前提である。
もちろん現実はそんなに綺麗ではない。
実際には、日にちによって出生数に差がある。
うるう年もある。
出生数の偏りもある。
だから、現実の確率が理論上の50.7％と完全に一致するわけではない。
とはいえ、
「23人で約半分」
という感覚を理解するには、このモデルで十分である。
次に23人以上集まったら試してみよう
この話を知ったら、次に23人以上の集団に入ったときに、
「この中に誕生日が同じ人いるかな」
と探してみると面白い。
飲み会でもいい。
職場でもいい。
学校でもいい。
そして見つかったら、
「やっぱり約50％あるからね」
と知った顔で言ってみる。
たぶん、
「へえ、そうなんだ」
で終わる。
でも、それでいい。
雑学とはそういうものである。
人生に必要かと言われると、たぶん必要ない。
しかし、飲み会で一瞬だけ会話が持つ。
それだけで十分だ。
まとめ
「365日もあるのに、23人で誕生日がかぶるなんておかしくない？」
と思うかもしれない。
しかし、23人の中には253通りの2人組がある。
そのため、「誰と誰でもいいから誕生日が一致する」という条件にすると、確率は一気に上がる。
23人で、
約50.7％。
30人なら約70.6％。
50人なら約97％。
つまり、誕生日のパラドックスが教えてくれるのは、
「人間の直感は、意外と確率に弱い」
ということだ。
365日という数字だけを見ると、
「23人なんて全然少ない」
と思ってしまう。
でも数学から見ると、
「253組も比較できるんですけど？」
という話になる。
次に23人以上の集団に入ったら、周りを見渡してみてほしい。
同じ誕生日の人が見つかるかもしれない。
そして見つけたら、
「すごい偶然！」
と驚くのもいい。
ただし、数学的には、
「まあ、50％くらいありますけどね」
である。
ちょっとだけ、嫌な奴になれる。
それが誕生日のパラドックスである。
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